Question

設(shè)橢圓 C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點與拋物線 C₂：x2=4

3

y 的焦點重合，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點，離心率 e=

1

2

，過橢圓右焦點 F₂的直線 l 與橢圓 C 交于 M，N 兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線 l，使得 

OM

•

ON

=-2，若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）確定橢圓的一個頂點坐標(biāo)，結(jié)合離心率，即可求得橢圓C的方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及向量數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）拋物線 C₂：x2=4

3

y 的焦點坐標(biāo)為（0，

3

），
∴橢圓的一個頂點為（0，

3

），即b=

3

∵e=

c

a

=

1- b2 a2

=

1

2

，∴a=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由題意，直線l與橢圓必相交
①斜率不存在時，直線l為x=1，代入橢圓方程，可得y=±

3

2

，∴

OM

•

ON

=-

9

4

，不合題意；
②斜率存在時，設(shè)方程為y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
直線方程代入橢圓方程，消去y可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
∴x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=

4k2-12

3+4k2

+k²（

4k2-12

3+4k2

-

8k2

3+4k2

+1）=

-5k2-12

3+4k2

=-2
∴k=±

2

，
故直線l的方程為y=

2

（x-1）或y=-

2

（x-1）．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．