Question

設(shè)橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）以F₁、F₂為左、右焦點，離心率e=

1

2

，一個短軸的端點（0，

3

）；拋物線C₂：y²=4mx（m＞0），焦點為F₂，橢圓C₁與拋物線C₂的一個交點為P．
（1）求橢圓C₁與拋物線C₂的方程；
（2）直線l經(jīng)過橢圓C₁的右焦點F₂與拋物線C₂交于A₁，A₂兩點，如果弦長|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（1）由離心率、短軸的端點坐標、及a²=b²+c²求得a，b的值，求得橢圓的方程．由拋物線的焦點坐標求得m的值，進一步得到拋物線方程；
（2）由于△PF₁F₂周長為 2a+2c=6，故弦長|A₁A₂|=6，用點斜式設(shè)出直線L的方程，代入拋物線方程化簡，得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式求出斜率k的值．

解答：解：（1）由橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

，得

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

4

，∴a2=

4

3

b2．
又b=

3

，∴a²=4，則a=2，c=1．
∴橢圓C₁的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
拋物線C₂的焦點為（1，0），∴m=1，則拋物線方程為：y²=4x；
（2）由于△PF₁F₂周長為 2a+2c=6，故弦長|A₁A₂|=6，
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為 y-0=k（x-1），
代入拋物線C₂：y²=4x，化簡得 k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x1+x2=

2k2+4

k2

，x1x2=1，
∴|A₁A₂|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)[( 2k2+4 k2 )2-4]

=6，解得：k=±

2

．
故直線l的斜率為：±

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及拋物線的標準方程求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了設(shè)而不求的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了學(xué)生的計算能力，是高考試卷中的壓軸題．