Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，AB=1，BC=

2

，∠ABC=45°，點E在PC上，AE⊥PC．
（1）證明：AE⊥平面PCD；
（2）當PA=2時，求直線AD與平面ABE所成角的正弦值．（請用向量的運算解決此問題）

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件推導出AB⊥AC，PA⊥AB，從而得到AB⊥平面PAC，進而得到CD⊥平面PAC，由此能證明平面AEB⊥平面PCD．
（2）以A為原點，AB，AC，AP所在射線為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系利用向量法能求出，直線AD與平面ABE所成角的余弦值，最后轉化成正弦值．

解答： （1）證明：連接AC，
由于：AB=1，BC=

2

，∠ABC=45°，
利用余弦定理求得：AC=1
所以：△ABC是直角三角形
則：AB⊥AC
又在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，
所以：AC⊥CD
CD⊥平面PAC
AE⊥CD
又點E在PC上，AE⊥PC
所以：AE⊥平面PCD
解：（2）以A為原點，AB，AC，AP所在射線為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，PA=2
所以：A（0，0，0），B（1，0，0），E（0，

1

2

，1），D（-1，1，0），P（0，0，2）

AD

=(-1，1，0)，

AB

=(1，0，0)，

AE

=(0，

1

2

，1)
設平面ABE的法向量為：

n

=(x，y，z)
則：

n

•

AD

=0，

n

•

AB

=0
求得：

n

=(0，-2，1)
設直線AD與平面ABE所成角為θ，
cosθ=

n • AD

| n |•| AD |

=

30

6

所以：sinθ=

6

6

點評：本題考查的知識要點：線面垂直的判定和性質定理，線面的夾角及相關的運算，空間直角坐標系，法向量，向量的數量積，屬于中檔題型．