Question

設{a_n}是首項為1，公差為d的等差數列，b_n=anqn，其中q∈R，且q≠0．
（1）試研究：{b_n}（n∈N^*）是否為等比數列？請說明理由；
（2）請類比等比數列前n項和公式的推導過程，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由等差數列的通項公式得a_n=1+（n-1）d，從而得到

bn+1

bn

=

(1+nd)qn+1

[1+(n-1)d]qn

=

1+nd

1+(n-1)d

q，由此求出d=0時，{b_n}（n∈N^*）是等比數列；d≠0時，{b_n}（n∈N^*）不是等比數列．
（2）由b_n=anqn=[1+（n-1）d]qⁿ，利用錯位相減法能求出數列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵{a_n}是首項為1，公差為d的等差數列，
∴a_n=1+（n-1）d，
∴b_n=anqn=[1+（n-1）d]qⁿ，
∴

bn+1

bn

=

(1+nd)qn+1

[1+(n-1)d]qn

=

1+nd

1+(n-1)d

q，
∴d=0時，{b_n}（n∈N^*）是等比數列；
d≠0時，{b_n}（n∈N^*）不是等比數列．
（2）∵b_n=anqn=[1+（n-1）d]qⁿ，
∴S_n=q+（1+d）q²+（1+2d）q³+…+[1+（n-1）d]qⁿ，①
∴qS_n=q²+（1+d）q³+（1+2d）q⁴+…+[1+（n-1）d]qn+1 ，②
①-②，得：（1-q）S_n=q+dq²+dq³+dq⁴+…+dqⁿ-[1+（n-1）d]qn+1 
=q+d×

q2(1-qn-1)

1-q

-[1+（n-1）d]qn+1 ，
∴Sn =+

q2(1-qn-1)

(1-q)2

d-

[1+(n-1)d]qn+1

1-q

．

點評：本題考查等比數列的判斷，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減求和法的合理運用．