Question

已知拋物線頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點M（a，4）到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和a值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)拋物線的方程為x²=2my，m∈R，根據(jù)點M（a，4）在拋物線上可得m＞0．根據(jù)拋物線的定義可得點M到準線的距離也是5，即4+

m

2

=5，求得m的值，可得拋物線的方程．把點M的坐標代入拋物線的方程求得a的值

解答： 解：設(shè)拋物線的方程為x²=2my，m∈R，再根據(jù)點M（a，4）在拋物線上可得拋物線開口向上，m＞0．
故焦點在y軸的正半軸上，焦點為F（0，

m

2

），準線為y=-

m

2

，
由點M（a，4）到焦點的距離等于5，可得點M到準線的距離也是5，
即4+

m

2

=5，∴m=2，拋物線的方程為x²=4y．
把點M的坐標代入拋物線的方程可得a²=16，∴a=±4．

點評：本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．