Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點．

（1）求的方程；

（2）是否存在直線與相交于兩點，且滿足：①與（為坐標原點）的斜率之和為2；②直線與圓相切，若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

（1）由離心率，已知點坐標代入得及可解得得標準方程；

（2）存在性問題，假設直線存在，把代入的方程得，同時設，則可得，①

代入得出的一個等式，再由直線和圓相切又得一個等式，聯立可解得，同時注意直線與橢圓相交的條件，如滿足則說明存在．

試題解析：

（1）由已知得，

解得，∴橢圓的方程為；

（2）把代入的方程得：

，

設，則，①

由已知得，

∴，②

把①代入②得，

即，③

又，

由，得或，

由直線與圓相切，則 ④

③④聯立得（舍去）或，∴，

∴直線的方程為．