Question

【題目】已知函數

（1）設，試討論單調性；

（2）設，當時，任意，存在，使，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） 當時，函數單調遞增；當時，函數單調遞減；（2）.

【解析】試題分析：(1)直接利用函數與導數的關系,求出函數的導數,再討論函數的單調性;
(2)利用導數求出的最小值、利用二次函數知識或分離常數法求出在閉區間上的最大值,然后解不等式求參數.

試題解析：（Ⅰ）函數的定義域為，

令，則， （）舍去

令，則，

令，則

所以當時，函數單調遞增；當時，函數單調遞減

（2）當時，

由（1）可知的兩根分別為，

令，則或，

令，則

可知函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以對任意的，有

，

由條件知存在，使，

所以

即存在，使得

分離參數即得到在時有解，

由于（）為減函數，故其最小值為，

從而

，所以實數的取值范圍是