Question

已知直線l：x-ay+a=0和雙曲線C：x²-y²=1的左支交于A、B兩點，過AB的中點Q與P（-2，1）的直線PQ，交y軸于（0，b），求b的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：聯立直線方程和雙曲線方程，消去x，得到y的方程，運用判別式大于0，以及韋達定理，求出a的范圍，再由三共線則斜率相等，得到b的不等式，解得即可．

解答： 解：聯立直線l：x-ay+a=0和雙曲線C：x²-y²=1，
消去x，得，（a²-1）y²-2a²y+a²-1=0，
由于直線和雙曲線的左支交于A、B兩點，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則判別式4a⁴-4（a²-1）²＞0①，且y₁+y₂=

2a2

a2-1

，y₁y₂=1，
則x₁+x₂=a（y₁+y₂）-2a=

2a

a2-1

＜0②，x₁x₂=（ay₁-a）（ay₂-a）=2a²-

2a4

a2-1

＞0③，
由①②③解得，

2

2

＜a＜1，
則AB的中點Q（

a

a2-1

，

a2

a2-1

），
由于過AB的中點Q與P（-2，1）的直線PQ，交y軸于（0，b），
則有

b-1

2

=

a2 a2-2 -1

a a2-1 +2

=

2

2a2+a-2

即有2a²+a-2=

4

b-1

，
由于

2

2

＜a＜1，則2a²+a-2∈（

2

2

-1，1）
由

2

2

-1＜

4

b-1

＜1，解得，b＞5或b＜-7-4

2

．
則b的取值范圍為（5，+∞）∪（-∞，-7-4

2

）．

點評：本題考查直線和雙曲線的位置關系，考查聯立直線方程和雙曲線方程，消去未知數，運用韋達定理，考查三點共線的知識，以及直線的斜率公式，考查運算能力，屬于中檔題．