【題目】已知函數
有兩個不同的極值點
.
（1）求
的取值范圍.
（2）求
的極大值與極小值之和的取值范圍.
（3）若
，則
是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，說明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）
沒有最小值.見解析
【解析】
（1）先求得函數
的定義域和導函數，結合一元二次方程根的分布求得
的取值范圍.
（2）根據（1）求得
，求得
的表達式，并利用導數求得這個表達式的取值范圍.
（3）由（2）假設
，
，則
，求得
的表達式，并利用導數研究這個表達式的單調性，由此判斷出這個表達式沒有最小值，也即沒有最小值.
（1）定義域為
，
.
因為
有兩個不同的極值點
，且
，
所以
有兩個不同的正根，
，解得.
（2）因為，不妨設
，所以，，
所以
.
令
，則
，
所以
在
上單調遞增，所以
，
即的極大值與極小值之和的取值范圍是.
（3）由（2）知.因為
，
所以
，
所以
.
因為
，所以
.
令
，則
，
所以
在
上單調遞減，無最小值，
故沒有最小值.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高三年級有男生
人，編號為
，
，…，；女生
人，編號為
，
，…，
．為了解學生的學習狀態，按編號采用系統抽樣的方法從這名學生中抽取
人進行問卷調查，第一組抽到的號碼為，現從這名學生中隨機抽取人進行座談，則這人中既有男生又有女生的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“劍橋學派”創始人之一數學家哈代說過：“數學家的造型，同畫家和詩人一樣，也應當是美麗的”；古希臘數學家畢達哥拉斯創造的“黃金分割”給我們的生活處處帶來美；我國古代數學家趙爽創造了優美“弦圖”.“弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為
，則
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
分別為橢圓
的左、右焦點，
為該橢圓的一條垂直于
軸的動弦，直線
與軸交于點
，直線
與直線
的交點為
.
（1）證明：點恒在橢圓
上.
（2）設直線
與橢圓只有一個公共點
，直線與直線
相交于點
，在平面內是否存在定點
，使得
恒成立？若存在，求出該點坐標；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】響應“文化強國建設”號召，某市把社區圖書閱覽室建設增列為重要的民生工程.為了解市民閱讀需求，隨機抽取市民200人做調查，統計顯示，男士喜歡閱讀古典文學的有64人，不喜歡的有56人；女士喜歡閱讀古典文學的有36人，不喜歡的有44人.
（1）能否在犯錯誤的概率不超過0.25的前提下認為喜歡閱讀古典文學與性別有關系？
（2）為引導市民積極參與閱讀，有關部門牽頭舉辦市讀書交流會，從這200人中篩選出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜歡古典文學.現從這9名代表中任選3名男代表和2名女代表參加交流會，記
為參加交流會的5人中喜歡古典文學的人數，求的分布列及數學期望
．
附：
，其中
．
參考數據：
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某項娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于
分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，大于等于
分的選手將直接參加競賽選拔賽.已知成績合格的
名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中
的頻率構成等比數列.
（1）求
的值；
（2）估計這名參賽選手的平均成績；
（3）根據已有的經驗，參加競賽選拔賽的選手能夠進入正式競賽比賽的概率為
，假設每名選手能否通過競賽選拔賽相互獨立，現有
名選手進入競賽選拔賽，記這名選手在競賽選拔賽中通過的人數為隨機變量
，求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】目前有聲書正受著越來越多人的喜愛．某有聲書公司為了解用戶使用情況，隨機選取了
名用戶，統計出年齡分布和用戶付費金額（金額為整數）情況如下圖．
有聲書公司將付費高于
元的用戶定義為“愛付費用戶”，將年齡在
歲及以下的用戶定義為“年輕用戶”．已知抽取的樣本中有
的“年輕用戶”是“愛付費用戶”．
（1）完成下面的
列聯表，并據此資料，能否有
的把握認為用戶“愛付費”與其為“年輕用戶”有關？
愛付費用戶 | 不愛付費用戶 | 合計 | |
年輕用戶 | |||
非年輕用戶 | |||
合計 |
（2）若公司采用分層抽樣方法從“愛付費用戶”中隨機選取
人，再從這人中隨機抽取
人進行訪談，求抽取的人恰好都是“年輕用戶”的概率．
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．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
是由非負整數組成的無窮數列，對每一個正整數
，該數列前項的最大值記為
，第項之后各項
的最小值記為
，記
．
（1）若數列的通項公式為
，求數列
的通項公式；
（2）證明：“數列單調遞增”是“
”的充要條件；
（3）若
對任意
恒成立，證明：數列的通項公式為
．
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