Question

已知拋物線C:y²=4x.

(1)若橢圓左焦點及相應的準線與拋物線C的焦點F及準線l分別重合，試求橢圓短軸端點B與焦點F連線中點P的軌跡方程；

(2)若M(m,0)是x軸上的一定點，Q是(1)所求軌跡上任一點，試問|MQ|有無最小值？若有，求出其值；若沒有，說明理由.

Answer 1

解析:

  由拋物線y²=4x,得焦點F(1,0),準線l: x=－1.

(1)設P(x,y)，則B(2x－1,2y),橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|=e,又設點B到l的距離為d,則|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)²+(2y)²=2x(2x－2),化簡得P點軌跡方程為y²=x－1(x＞1).

(2)設Q(x,y),則

|MQ|=

(ⅰ)當m－≤1,即m≤時，函數t=[x－(m－)²]+m－在(1，+∞)上遞增，故t無最小值，亦即|MQ|無最小值.

(ⅱ)當m－＞1,即m＞時，函數t=[x²－(m－)²]+m－在x=m－處有最小值m－,∴|MQ|_min=.