Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= PD．
（Ⅰ）證明：平面PQC⊥平面DCQ
（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D﹣xyz；
（Ⅰ）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；
則 =（1，1，0）， =（0，0，1）， =（1，﹣1，0），
所以 =0， =0；
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
故PQ⊥平面DCQ，
又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）依題意，有B（1，0，1），
=（1，0，0）， =（﹣1，2，﹣1）；
設 =（x，y，z）是平面的PBC法向量，
則 即 ，
因此可取 =（0，﹣1，﹣2）；
設 是平面PBQ的法向量，則 ，
可取 =（1，1，1），
所以cos＜ ， ＞=﹣ ，
故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值為﹣ ．

【解析】首先根據題意以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D﹣xyz；
（Ⅰ）根據坐標系，求出 、 、 的坐標，由向量積的運算易得 =0， =0；進而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得證明；（Ⅱ）依題意結合坐標系，可得B、 、 的坐標，進而求出平面的PBC的法向量 與平面PBQ法向量 ，進而求出cos＜ ， ＞，根據二面角與其法向量夾角的關系，可得答案．