Question

已知數列{a_n}是等比數列，S_n為其前n項和．
（1）若S₄，S₁₀，S₇成等差數列，證明a₁，a₇，a₄也成等差數列；
（2）設S3=

3

2

，S6=

21

16

，b_n=λa_n-n²，若數列{b_n}是單調遞減數列，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設數列{a_n}的公比為q，根據等差中項的性質可知2S₁₀=S₄+S₇，代入等比數列求和公式整理得1+q³=2q⁶．進而根據等比數列的通項公式可推斷a₁+a₄=2a₇．進而證明原式．
（2）把等比數列的求和公式代入S₃和S₆，兩式相除即可求得q，把q代入S₃求得a₁，進而可得數列{a_n}的通項公式，根據數列{b_n}是單調遞減數列可知b_n+1＜b_n，把b_n=λa_n-n²代入不等式，進而根據當n是奇數時，當n=1時取最大值；n是偶數時，當n=2時取最大值，進而得到λ的范圍．

解答：解：（1）證明：設數列{a_n}的公比為q，
因為S₄，S₁₀，S₇成等差數列，所以q≠1，且2S₁₀=S₄+S₇．
所以

2a1(1-q10)

1-q

=

a1(1-q4)

1-q

+

a1(1-q7)

1-q

，
因為1-q≠0，所以1+q³=2q⁶．
所以a₁+a₁q³=2a₁q⁶，即a₁+a₄=2a₇．
所以a₁，a₇，a₄也成等差數列．
（2）因為S3=

3

2

，S6=

21

16

，
所以

a1(1-q3)

1-q

=

3

2

，①

a1(1-q6)

1-q

=

21

16

，②
由②÷①，得1+q3=

7

8

，所以q=-

1

2

，代入①，得a₁=2．
所以an=2•(-

1

2

)n-1，
又因為b_n=λa_n-n²，所以bn=2λ(-

1

2

)n-1-n2，
由題意可知對任意n∈N^*，數列{b_n}單調遞減，
所以b_n+1＜b_n，即2λ(-

1

2

)n-(n+1)2＜2λ(-

1

2

)n-1-n2，
即6λ(-

1

2

)n＜2n+1對任意n∈N^*恒成立，
當n是奇數時，λ＞-

(2n+1)2n

6

，當n=1時，-

(2n+1)2n

6

取得最大值-1，
所以λ＞-1；
當n是偶數時，λ＜

(2n+1)2n

6

，當n=2時，

(2n+1)2n

6

取得最小值

10

3

，
所以λ＜

10

3

．
綜上可知，-1＜λ＜

10

3

，即實數λ的取值范圍是(-1，

10

3

)．

點評：本題主要考查等比數列的性質，考查了學生根據已知條件，分析和解決問題的能力．