Question

已知函數
（Ⅰ）時，求在處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意的恒成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）當時，設函數，若，求證：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）將代入，求導即得；（Ⅱ），即在上恒成立. 不等式恒成立的問題，一般有以下兩種考慮，一是分離參數，二是直接求最值.在本題中，設，則，這里面不含參數了，求的最大值比較容易了，所可直接求最大值.（Ⅲ）本題首先要考慮的是，所要證的不等式與函數有什么關系？待證不等式可作如下變形：
，最后這個不等式與有聯系嗎？我們再往下看.
,所以在上是增函數.
因為，所以
即從這兒可以看出，有點聯系了.
同理，
所以，
與待證不等式比較，只要問題就解決了，而這由重要不等式可證，從而問題得證.
試題解析：（Ⅰ），，所以切線為：即.         3分
（Ⅱ）,，即在上恒成立
設，，時，單調減，單調增，
所以時，有最大值.，
所以.         8分
法二、可化為.
令，則，所以
所以.
（Ⅲ）當時，,,所以在上是增函數，上是減函數.
因為，所以
即，同理.
所以
又因為當且僅當“”時，取等號.
又，,
所以，所以，
所以：.         14分