Question

（本小題滿分12分）已知函數，.
（1）當時，求函數的單調區間和極值；
（2）若恒成立，求實數的值.

Answer 1

（1）函數的減區間為,增區間為,極小值為,無極大值；（2）.

試題分析：本題綜合考察函數與導數及運用導數求單調區間、極值、最值等數學知識和方法，突出考查綜合運用數學知識和方法分析問題、解決問題的能力.第一問，將代入，先得到的表達式，注意到定義域中，對求導，根據，判斷出的單調增區間，，判斷出的單調減區間，通過單調性判斷出極值的位置，求出極值；第二問，先將恒成立轉化為恒成立，所以整個這一問只需證明即可，對求導，由于，所以須討論的正負，當時，，所以判斷出在上為增函數，但是，所以當時，不符合題意，當時，判斷出在上為減函數，上為增函數，但是，必須證明出，所以再構造新函數，判斷函數的最值，只有時符合.
試題解析：⑴解:注意到函數的定義域為,
,
當時, ,            2分
若,則;若,則.
所以是上的減函數,是上的增函數,
故,
故函數的減區間為,增區間為,極小值為,無極大值.---5分
⑵解:由⑴知,
當時,對恒成立,所以是上的增函數,
注意到,所以時,不合題意.    7分
當時,若,;若,.
所以是上的減函數,是上的增函數,
故只需.      9分
令,
,
當時,; 當時,.
所以是上的增函數,是上的減函數.
故當且僅當時等號成立.
所以當且僅當時,成立,即為所求.    12分