Question

在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求二面角E-BC-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明線面平行，需要證明直線平行面內的一條直線即可．
（2）法一：利用三垂線定理作出二面角的平面角即可求解．
法二：建立空間直角坐標系，利用向量法求解．

解答：解：（1）由題意知，△ABC，△ACD都是邊長為2的等邊三角形，
取AC中點O，連接BO，DO，
則BO⊥AC，DO⊥AC∵平面ACD⊥平面ABC
∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，
那么EF∥DO，根據題意，點F落在BO上，
∴∠EBF=60°，∴EF=DO=

3

，
所以四邊形DEFO是平行四邊形，DE∥OF；
∵DE?平面ABC，OF?平面ABC，∴DE∥平面ABC．
方法一：（2）作FG⊥BC，垂足為G，連接FG；
∵EF⊥平面ABC，根據三垂線定理可知，EG⊥BC，
∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，
∵FG=BF•sin∠FBG=

1

2

，EF=

3

，
∴EG=

EF2-FG2

=

13

2

，
∴cos∠EGF=

FG

EG

=

13

13

，
即二面角E-BC-A的余弦值為

13

13

．
方法二：（2）建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，
可求得平面ABC的一個法向量為

n1

(0，0，1)，
平面BCE的一個法向量為

n2

(-3，

3

，1)
所以cos＜

n1

，

n2

＞

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

13

13

又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，二面角E-BC-A的余弦值為

13

13

．

點評：本題考查空間直線與平面之間的位置關系，線面平行，體積等知識，高考必考內容，考查空間想象能力和邏輯思維推理能力．