Question

在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC．BE和平面ABC所成的角為

π

3

，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，DE=

3

-1．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取AC中點O，連接BO、DO，等邊三角形△ACD中，DO⊥AC，結合面面垂直的性質，得D0⊥平面ABC．再過E作EF⊥平面ABC，可以證出四邊形DEFO是平行四邊形，得DE∥OF，結合線面平行的判定定理，證出DE∥平面ABC；
（2）以O為坐標原點，OA，OB，OD分別為x，y，z軸方向建立空間坐標系，分別求出平面ABE和CBE的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：證明：（1）取AC中點O，連接BO、DO，
∵△ABC，△ACD都是邊長為2的等邊三角形，
∴BO⊥AC，DO⊥AC；
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC
∴DO⊥平面ABC，
過E作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，
根據題意，點F落在BO上，易求得EF=DO=

3

，
所以四邊形DEFO是平行四邊形，得DE∥OF，
∵DE?平面ABC，OF?平面ABC，
∴DE∥平面ABC
（2）以O為坐標原點，OA，OB，OD分別為x，y，z軸方向建立空間坐標系，
則A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，0，0），D（0，0，

3

），E（0，

3

-1，

3

）
則

BE

=（0，-1，

3

），

AB

=（-1，

3

，0），

CB

=（1，

3

，0），
設平面ABE的法向量為

m

=（x，y，z）
則

m • BE =0 m • AB =0

，即

-y+ 3 z=0 -x+ 3 y=0

令y=

3

，可得

m

=（3，

3

，1）
設平面ACE的法向量為

n

=（x，y，z）
則

n • BE =0 n • CB =0

，即

-y+ 3 z=0 x+ 3 y=0

令y=

3

，可得

n

=（-3，

3

，1）
設銳二面角A-BE-C的平面角為θ
則cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

| m • n |

| m |•| n |

=

5

13

，即二面角A-BE-C的余弦值為

5

13

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，二面角的平面角的求法，建立空間坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角問題是解答的關鍵．