Question

從邊長為2a的正方形鐵皮的四個角各截去一個邊長為x的小正方形，再將四邊向上折起，做成一個無蓋的長方體鐵盒，且要求長方體的高度x與底面正方形的邊長的比不超過常數t．問：
（1）求長方體的容積V關于x的函數表達式；
（2）x取何值時，長方體的容積V有最大值？

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出長方體的底面正方形的邊長和高，便可求出長方體的容積V解析式．
（2）把容積V變形后使用基本不等式求出最大值，注意分析等號成立條件能否滿足，
當等號成立條件不能滿足時，利用導數值的符號確定函數的單調性，由單調性確定函數的最大值．
解答：解：（1）長方體的底面正方形的邊長為2a-2x，高為x，所以，容積V=4（x-a）²x，
由，得 0＜x≤，
（2）由均值不等式知V=2（a-x）（a-x）（2x），
當a-x=2x，即時等號成立．
①當，即，；
②當，即時，，
則V′（x）在上單調遞減，
∴，
∴V（x）在單調遞增，
∴
總之，若，則當時，；
若，則當時，．
點評：本題考查基本不等式在函數最值中的應用，利用導數來研究函數的單調性，由函數的單調性確定函數的最大值．