Question

已知向量

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)，

n

=(cosωx-sinωx，2sinωx)（其中ω＞0），函數f（x）=

m

•

n

，若f（x）相鄰兩對稱軸間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）求f（x）的最大值及相應的x的集合．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據二倍角公式和和差角公式（輔助角公式），化簡函數解析式為正弦型函數的形式，進而結合f（x）相鄰兩對稱軸間的距離為

π

2

，可得f（x）的最小正周期，求出ω的值；
（2）由正弦函數的圖象和性質即可得到f（x）的最大值及相應的x的集合．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos2ωx-sin2ωx+2

3

sinωxcosωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx+

π

6

）…（3分）
由題意得T=π，
又∵ω＞0，
∴ω=1，
（2）f（x）=2sin（2x+

π

6

）…（4分）
由2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x=kπ+

π

6

，k∈Z
∴當x=kπ+

π

6

，k∈Z時，f（x）有最大值為2；…（6分）

點評：本題考查的知識點是三角函數中的恒等變換應用，平面向量數量積的運算，余弦定理，三角形面積公式，是三角函數與向量的綜合應用，屬于基本知識的考查．