Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是等腰直角三角形，且∠ABC=90°，AC=2a，BB₁=3a，D為A₁C₁的中點．問在線段AA₁是否存在點F，使CF⊥面B₁DF．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：建立空間坐標系，給出有關點的坐標，設出點F的坐標，由線面垂直轉化為線的方向向量與面的法向量垂直，利用二者內積為零建立關于參數的方程即可．

解答： 解：因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
BB₁⊥面ABC，∠ABC=

π

2

．
以B點為原點，BA、BC、BB₁分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系．
因為AC=2a，∠ABC=90°，所以AB=BC=

2

a，
從而B（0，0，0），A（

2

a，0，0），C（0，

2

a，0），B₁（0，0，3a），A₁（

2

a，0，3a），C₁（0，

2

a，3a），D（

2

2

a，

2

2

a，3a），E（0，

2

2

a，

3

2

a）．
所以

CA1

=（

2

a，-

2

a，3a），
設AF=x，則F（

2

a，0，x），

CF

=（

2

a，-

2

a，x），

B1F

=（

2

a，0，x-3a），

B1D

=（

2

2

a，

2

2

a，0），

CF

•

B1D

=

2

•

2

2

•a²+（-

2

）•

2

2

•a²+x•0=0
所以

CF

⊥

B1D

．
要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F．
由

CF

•

B1F

=2a²+x（x-3a）=0，得x=a或x=2a，
故當AF=a或2a時，CF⊥平面B₁DF．

點評：本題考查用空間向量為工具解決立體幾何問題，此類題關鍵是找清楚線的方向向量、面的法向量以及這些向量內積為0、共線等與立體幾何中線面、面面位置關系的對應，考察了轉化思想，屬于中檔題．