Question

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=

2

2

，一曲線E過C點，動點P在曲線E上運動，且保持|PA|+|PB|的值不變．直線m⊥AB于O，AO=BO．
（1）建立適當的坐標系，求曲線E的方程；
（2）設D為直線m上一點，

OD

=

AC

，過點D引直線l交曲線E于M、N兩點，保持直線l與AB成45°，求四邊形MANB的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）以AB為x軸，以AB中點為原點O建立直角坐標系，由此能推導出動點軌跡為橢圓，且a=

2

，c=1，從而b=1，從而能求出曲線E的方程．
（2）由已知條件設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設直線方程為y=x+

2

2

，代入橢圓方程

x2

2

+y²=1，由韋達定理、點到直線的距離公式能求出四邊形MANB的面積．

解答： 解：（1）以AB為x軸，以AB中點為原點O建立直角坐標系．
∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=

2

2

+

4+ 1 2

=2

2

，
∴動點軌跡為橢圓，且a=

2

，c=1，從而b=1．
∴曲線E的方程為

x2

2

+y²=1．
（2）由題設知|

OD

|=

2

2

，由直線l與AB成45°角，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設直線方程為y=x+

2

2

，
代入橢圓方程

x2

2

+y²=1，得
3x2+2

2

x-1=0，
∴x1+x2=-

2 2

3

，x₁x₂=

2 10

3

，
A，B到直線MN的距離為d₁=

|-2+ 2 |

2 2

=

2 -1

2

，d2=

2 +1

2

，
∴四邊形MANB的面積S=

1

2

•

2 10

3

•(

2 -1

2

+

2 +1

2

)=

2 5

3

．

點評：本題考查曲線E的方程的求法，考查四邊形MANB的面積的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．