Question

（本小題滿分13分）

已知二次函數同時滿足：①不等式的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在，使得不等式成立．

設數列的前項和，

（1）求數列的通項公式；

（2）數列中，令，，求；

（3）設各項均不為零的數列中，所有滿足的正整數的個數稱為這個數列的變號數。令（為正整數），求數列的變號數．

 

Answer 1

【答案】

（1） ；

（2）；

（3）數列共有個變號數，即變號數為。

【解析】

試題分析：（1）∵的解集有且只有一個元素，∴，

當時，函數在上七彩教育網遞增，故不存在，使得不等式成立----------------2分

當時，函數在上七彩教育網遞減，故存在，使得不等式成立。

綜上七彩教育網，得，，∴，

∴  ---------------4分

（2）∵     ∴ 

∴ --------------------8分

（3）解法一：由題設------------9分

∵時，，

∴時，數列遞增-------------------10分

∵，由，可知，即時，有且只有個變號數；

又∵，即，∴此處變號數有個．

綜上七彩教育網得 數列共有個變號數，即變號數為-----------13分

解法二：由題設-----------(9分)

時，令；

又∵，∴時也有．

綜上七彩教育網得：數列共有個變號數，即變號數為-----------13分

考點：本題主要考查函數的概念，等差數列、等比數列的的基礎知識，“錯位相消法”，簡單不等式的解法。

點評：中檔題，本題具有較強的綜合性，本解答從處理函數問題入手，確定得到a的值，從而求得了，進一步轉化成數列問題的研究。“錯位相消法”是高考常常考到數列求和方法。