Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F，上頂點為A，過點A且與AF垂直的光線經橢圓的右準線反射，反射光線與直線AF平行．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設入射光線與右準線的交點為B，過A，B，F三點的圓恰好與直線3x一y+3=0相切，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）因為入射光線與反射光線垂直，所以入射光線與準線所成的角為45°，由此能求出橢圓的離心率．
（2）由b=c，a=

2

c，得A（0，c），B（2c，-c），由AF⊥AB，知過A，B，F三點的圓的圓心坐標為(

c

2

，-

c

2

)，半徑r=

1

2

FB=

10

2

c，由此能夠求出橢圓的方程．

解答：解：（1）因為入射光線與反射光線垂直，
所以入射光線與準線所成的角為45°，…（2分）
即∠FAO=45°，
所以b=c，
所以橢圓的離心率為

2

2

．                                                    …（6分）
（2）由（1）知b=c，a=

2

c，
可得A（0，c），B（2c，-c），又AF⊥AB，
所以過A，B，F三點的圓的圓心坐標為(

c

2

，-

c

2

)，
半徑r=

1

2

FB=

10

2

c，…（8分）
因為過A，B，F三點的圓恰好與直線3x-y+3=0相切，…（10分）
所以圓心到直線3x-y+3=0的距離等于半徑r
，即

| 3 2 c+ 1 2 c+3|

10

=

10

2

c，
得c=1，…（14分）
所以b=1，a=

2

，
所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．   …（16分）

點評：本題考查解三角形在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．解題時要注意余弦定理和數形結合思想的靈活運用．