Question

【題目】已知函數，其中

（1）當時，寫出函數的單調區間；

（2）若函數為偶函數，求實數的值；

（3）若對任意的實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）（3）

【解析】

（1）將代入解析式，即可根據絕對值函數的圖像與性質判斷出單調區間.

（2）根據偶函數性質，可知必有，即可解得的值，再代入檢驗即可.

（3）將解析式代入化簡不等式，討論與兩種情況.再當時，對分類討論，結合不等式恒成立的條件即可求得的取值范圍.

（1）函數，

將代入可得，

由絕對值函數圖像可知，當時單調遞增，當時單調遞減，

所以單調遞增區間為，單調遞減區間為，

（2）函數為偶函數，

則滿足，

即，

所以，

解得，

將代入解析式可得，符合題意，

（3）對任意的實數，不等式恒成立，

則對任意的實數，不等式恒成立，

化簡可得，

，當時，，所以恒成立，即此時，

，當時，不等式可化為，

令，

當時，，，

即有，

即，解不等式可得，

當時，即有，化簡可得，

令，解得 或（舍），

可得，

當時，可得不能恒成立；

當時，，要使得，只需，

即，解得，不合題意舍去，

當時，要使得，只需，

即，解得，不合題意舍去，

綜上可得的取值范圍為