Question

【題目】已知點(diǎn)，直線：，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，過作直線，為的中垂線，與交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線Γ.

（1）求曲線Γ的方程；

（2）若過的直線與Γ交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求與的比值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）易知，即點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，可知點(diǎn)的軌跡為拋物線，求出方程即可；

（2）設(shè)線段的垂直平分線與交于點(diǎn)，分別過點(diǎn)作，垂足為，再過點(diǎn)作，垂足為，易知，可得，進(jìn)而結(jié)合拋物線的定義，可求出的值，即可得到與的比值.

（1）由題意可知，即點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，

所以點(diǎn)的軌跡是以為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線，

其方程為：.

（2）設(shè)線段的垂直平分線與交于點(diǎn)，分別過點(diǎn)作，垂足為，

再過點(diǎn)作，垂足為，

因?yàn)?/span>， 所以∽，所以，

設(shè)，(不妨設(shè))，由拋物線定義得， ，

所以，

而，

所以.