Question

【題目】已知橢圓經過點，且離心率為，過其右焦點F的直線交橢圓C于M，N兩點，交y軸于E點．若，．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）試判斷是否是定值．若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）為定值，為．

【解析】

（Ⅰ）根據題意列方程組，解得，，則可得到橢圓的標準方程；

（Ⅱ）直線的方程為，聯立消去y可得．設，，根據韋達定理和已知條件，可得，，再相加根據韋達定理，變形可得定值.

（1）設橢圓的半焦距為，由題意可得，

解得，，．

所以橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）為定值．

由題意可知，直線的斜率存在，設直線的斜率為k，

因為直線過點，所以直線的方程為．

令，可得，即．

聯立消去y可得．

設，，易知，，則，．

，，，．

由，，可得，

所以．

將，代入上式，化簡可得