Question

設函數f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0）．
（1）若不等式f（x）≥5的解集為{x|x≤-2或x≥3}，求a的值；
（2）若不等式f（x）≥6恒成立，求a的范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數恒成立問題

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：（1）運用分段函數表示函數f（x），由題設知：|x+1|+|x-a|≥5，在同一坐標系中作出函數y=5的圖象，當x=-2或3時，f（x）=5，且a+1＜5即a＜4，由f（-2）=5 求得a的值；
（2）由絕對值不等式的性質，可得f（x）的最小值為|a+1|，令6不大于最小值，解不等式即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=|x+1|+|x-a|=

-2x-1+a，x＜-1 a+1，-1≤x≤a 2x+1-a，x＞a

，
函數f（x）如圖所示．
由題設知：|x+1|+|x-a|≥5解集為（-∞，-2]∪[3，+∞）．
如圖，在同一坐標系中作出函數y=5的圖象，
由題設知，當x=-2或3時，f（x）=5，
且a+1＜5即a＜4，
由f（-2）=-2×（-2）-1+a=5，
解得a=2；
（2）由|x+1|+|x-a|≥|（x+1）-（x-a）|，
則f（x）_min=|a+1|，不等式f（x）≥6恒成立即為
|a+1|≥6，
解得a≤-7或a≥5．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，不等式恒成立問題，函數圖象的特征，體現了數形結合的數學思想，畫出函數f（x）的圖象，是解題的關鍵．