【題目】在直三棱柱
中，
，
，
．
（1）求異面直線
與
所成角的正切值；
（2）求直線
與平面
所成角的余弦值．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
以點
為坐標原點，
、
、
所在直線分別為
、
、
軸建立空間直角坐標系
.
（1）利用空間向量法求出
與
所成角的余弦值，再利用同角三角函數的基本關系可得出答案；
（2）利用空間向量法求出直線
與平面
所成角的正弦值，再利用同角三角函數的基本關系可得出答案.
在直三棱柱
中，
，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：
則點
、
、
、
、
、
.
（1）設異面直線與所成角為
，
，
，
，即
，
，
則
，因此，異面直線與所成角的正切值為；
（2）設直線與平面所成角為
，設平面的一個法向量為
，
，
，
，
由
，得
，取
，得
，
所以，平面的一個法向量為，
，
，則
.
因此，直線與平面所成角的余弦值為.
優等生題庫系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市一中學高三年級統計學生的最近20次數學周測成績（滿分150分），現有甲乙兩位同學的20次成績如莖葉圖所示：
（1）根據莖葉圖求甲乙兩位同學成績的中位數，并據此判斷甲乙兩位同學的成績誰更好？
（2）將同學乙的成績的頻率分布直方圖補充完整；
（3）現從甲乙兩位同學的不低于140分的成績中任意選出2個成績，設選出的2個成績中含甲的成績的個數為
，求的分布列及數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
的中點為
.
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）在棱
上是否存在點
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
（
為參數），將曲線
上的所有點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的
后得到曲線
；以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線和直線的直角坐標方程；
（2）已知
，設直線與曲線交于不同的
、
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】黃岡“一票通”景區旅游年卡，是由黃岡市旅游局策劃，黃岡市大別山旅游公司推出的一項惠民工程，持有旅游年卡一年內可不限次暢游全市19家簽約景區．為了解市民每年旅游消費支出情況
單位：百元
，相關部門對已游覽某簽約景區的游客進行隨機問卷調查，并把得到的數據列成如表所示的頻數分布表：
組別 |
|
|
|
|
|
頻數 | 10 | 390 | 400 | 188 | 12 |
求所得樣本的中位數精確到百元；
根據樣本數據，可近似地認為市民的旅游費用支出服從正態分布
，若該市總人口為750萬人，試估計有多少市民每年旅游費用支出在7500元以上；
若年旅游消費支出在
百元以上的游客一年內會繼續來該景點游玩現從游客中隨機抽取3人，一年內繼續來該景點游玩記2分，不來該景點游玩記1分，將上述調查所得的頻率視為概率，且游客之間的選擇意愿相互獨立，記總得分為隨機變量X，求X的分布列與數學期望．
參考數據：
，
；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費
和年銷售量
（
=1,2，···，8）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.
|
|
|
|
|
|
|
46.6 | 56.3 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
表中
，
=
（Ⅰ）根據散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d
哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給判斷即可，不必說明理由）
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；
（Ⅲ）已知這種產品的年利率z與x、y的關系為z=0.2y-x.根據（Ⅱ）的結果回答下列問題：
（ⅰ）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？
（ⅱ）年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？
附：對于一組數據
,
，……，
,其回歸線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
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