【題目】已知函數
，
.
（1）證明：當
時，
；
（2）若
時不等式
成立，求
的取值范圍.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
(1)構造函數
求導分析單調性證明
即可.
(2)構造函數
,求導后根據區間端點和極值點的大小關系等分參數的范圍進行分析最大值即可.
解：（1）令
,
,
所以當
時,
單調遞減.
當
時,
單調遞減.
當
時,
取得最大值,
,
即
,
當
時,
.
（2）令
,則
,
①當
時,
,所以函數
在
上單調遞減,
所以
,所以滿足題意.
②當
時,令
,得
,
所以當
時,
,當
時,.
所以函數在
上單調遞增,在
上單調遞減.
（ⅰ）當
,即
時,在上單調遞增,
所以
,所以
,此時無解.
（ⅱ）當
,即
時,函數在
上單調遞增,在
上單調遞減.
所以
.
設
,則
,
所以
在
上單調遞增,
,不滿足題意.
（ⅲ）當
,即
時,在上單調遞減,
所以,所以 滿足題意.
綜上所述：
的取值范圍為.
孟建平錯題本系列答案
超能學典應用題題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》中《方田》章有弧田面積計算問題，計算術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面積計算公式為：弧田面積
（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圓弧（簡稱為弧田的弧）和以圓弧的端點為端點的線段（簡稱 （弧田的弦）圍成的平面圖形，公式中“弦”指的是弧田的弦長，“矢”等于弧田的弧所在圓的半徑與圓心到弧田的弦的距離之差.現有一弧田，其弦長
等于
，其弧所在圓為圓
，若用上述弧田面積計算公式計算得該弧田的面積為
，則
（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某汽車美容公司為吸引顧客，推出優惠活動：對首次消費的顧客，按200元/次收費，并注冊成為會員，對會員逐次消費給予相應優惠，標準如下：
消費次第 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | ≥5次 |
收費比率 | 1 | 0.95 | 0.90 | 0.85 | 0.80 |
該公司注冊的會員中沒有消費超過5次的，從注冊的會員中，隨機抽取了100位進行統計，得到統計數據
如下：
消費次數 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 |
人數 | 60 | 20 | 10 | 5 | 5 |
假設汽車美容一次，公司成本為150元，根據所給數據，解答下列問題：
（1）某會員僅消費兩次，求這兩次消費中，公司獲得的平均利潤；
（2）以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率， 設該公司為一位會員服務的平均利潤為
元，求大于40的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
在
處的切線方程為
.
（1）求函數
的解析式；
（2）若關于
的方程f（x）＝kex（其中e為自然對數的底數）恰有兩個不同的實根，求實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校將一次測試中高三年級學生的數學成績統計如下表所示，在參加測試的學生中任取1人，其成績不低于120分的概率為
.
分數 |
|
|
|
|
|
|
|
頻數 | 40 | 50 | 70 | 60 | 80 |
| 50 |
（1）求
的值；
（2）若按照分層抽樣的方法從成績在
、
的學生中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行錯題分析，求這2人中至少有1人的分數在的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖甲，AD，BC是等腰梯形CDEF的兩條高，
，點M是線段AE的中點，將該等腰梯形沿著兩條高AD，BC折疊成如圖乙所示的四棱錐P-ABCD（E，F重合，記為點P）.
甲 乙
（1）求證：
；
（2）求點M到平面BDP距離h.
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