Question

【題目】已知常數，數列的前項和為， 且 .

（1）求證：數列為等差數列；

（2）若 ，且數列是單調遞增數列，求實數的取值范圍；

（3）若 ，數列滿足：對于任意給定的正整數 ，是否存在 ，使 ？若存在，求 的值（只要寫出一組即可）；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）， （或 ）

【解析】

（Ⅰ）由題證明（常數）即可證明數列是等差數列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，結合題意在對是奇數和是偶數分別進行討論得答案．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，設對任意正整數，都存在正整數，使 ，得，進而得出答案．

（Ⅰ）∵ ∴， ，

∴

化簡得：（常數），

∴ 數列是以 為首項，公差為的等差數列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，又∵ ， ，

∴ ，∴

①當是奇數時，∵ ，∴，

令 ，∴

∵

∴ ，且，∴ ；

② 當是偶數時，∵ ，∴ ，

令 ，∴

∵

∴ ，且，∴ ；

綜上可得：實數的取值范圍是 ．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，又∵，

設對任意正整數，都存在正整數，使 ，

∴，∴

令，則 （或 ）

∴ （或）