【題目】已知四棱柱
的底面是邊長為
的菱形，且
，
平面
，
，
于點
，點
是
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求平面
和平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）取
中點為
，求證四邊形
為平行四邊形，即可由線線平行推證線面平行；
（2）以
為坐標原點，建立空間直角坐標系，通過求解兩平面法向量之間夾角的余弦值，從而求得二面角夾角的余弦值.
（1）證明：∵
，
，∴
是
中點，
取
中點，連
，
，如下圖所示：
則在菱形
中，
，
//
∵
，//
，∴
，//
，
∴四邊形
為平行四邊形，∴
//
，
又
，
//
，∴四邊形
為平行四邊形，
∴
//，∴//，
又
平面
，
平面，
∴//平面.即證.
（2）以為原點，以
分別為
建立如圖所示的空間的直角坐標系.
因為已知該四棱柱為直四棱柱，，
，
所以
為等邊三角形.
因為，所以點是的中點.
故點
，
，
，
，
，
，
.
設平面
的法向量為
，
，
.
由
得
取
，得
，
，
故
.
∵
，
，
，
∴
，∴是平面的法向量，
設平面和平面所成銳角為
，
則
.
即平面和平面所成銳角的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中,曲線
：
=0(a>0)，曲線
的參數方程為
(
為參數),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系；
(1)求曲線，的極坐標方程;
(2)已知極坐標方程為
=
的直線與曲線，分別相交于P，Q兩點（均異于原點O），若|PQ|=
﹣1，求實數a的值；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若函數
同時滿足：①對于定義域上的任意
，恒有
；②對于定義域上的任意
，當
時，恒有
，則稱函數為“理想函數”．給出下列四個函數中：① 
； ②
； ③
； ④ 
，能被稱為“理想函數”的有_____（請將所有正確命題的序號都填上）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校有
，
，
，
四件作品參加航模類作品比賽.已知這四件作品中恰有兩件獲獎.在結果揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四件參賽作品的獲獎情況預測如下：
甲說：“、同時獲獎”；
乙說：“、不可能同時獲獎”；
丙說：“獲獎”；
丁說：“、至少一件獲獎”.
如果以上四位同學中有且只有二位同學的預測是正確的，則獲獎的作品是（ ）
A. 作品與作品 B. 作品與作品 C. 作品與作品 D. 作品與作品
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了適應高考改革，某中學推行“創新課堂”教學.高一平行甲班采用“傳統教學”的教學方式授課，高一平行乙班采用“創新課堂”的教學方式授課，為了比較教學效果，期中考試后，分別從兩個班中各隨機抽取
名學生的成績進行統計分析，結果如下表：（記成績不低于
分者為“成績優秀”）
分數 |
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甲班頻數 |
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乙班頻數 |
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（1）由以上統計數據填寫下面的
列聯表，并判斷是否有
以上的把握認為“成績優秀與教學方式有關”？
甲班 | 乙班 | 總計 | |
成績優秀 | |||
成績不優秀 | |||
總計 |
（2）在上述樣本中，學校從成績為
的學生中隨機抽取
人進行學習交流，求這人來自同一個班級的概率.
參考公式：
，其中
.
臨界值表
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