Question

【題目】已知函數是上的奇函數.

（1）求實數的值；

（2）若，則不等式在上有解，求實數的取值范圍；

（3）若且在上的最小值為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意得出，求出的值，然后再利用奇函數的定義驗證函數為奇函數即可；

（2）由可得出，分析出函數在上為增函數，再由為奇函數，由得出關于的不等式在上有解，可得出，即可求出實數的取值范圍；

（3）由且，可得出，可得出，換元，可得出，然后對分和，分析二次函數在區間上的單調性，結合題中條件可求出實數的值.

（1）函數是上的奇函數，，，

當時，，定義域為，關于原點對稱，

且，此時函數為奇函數，因此，；

（2）由（1）可知，又，，解得.

則函數在上為增函數，函數在上為減函數，

函數在上是增函數且為奇函數，

由，得在上有解，

在上有解，即在上有解，

，解得或.

因此，實數的取值范圍是；

（3），即，且，解得.

，令，又，則.

，.

則，令，

二次函數圖象的對稱軸為直線.

①當時，函數在為增函數，，即不合乎題意；

②當時，在為增函數，在為減函數，

，滿足.

綜上所述，.