Question

【題目】已知點(diǎn)在橢圓上，、分別為的左、右頂點(diǎn)，直線與的斜率之積為，為橢圓的右焦點(diǎn)，直線.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線過點(diǎn)且與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線、分別與直線交于、兩點(diǎn).試問：以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)和，理由見解析.

【解析】

（1）利用直線與的斜率之積為，得出，再由點(diǎn)在橢圓上，可求出的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由對稱性知，以為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)、，求出、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出的值，由，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，即可得出定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）點(diǎn)在橢圓上，則，①，

易知點(diǎn)、，

直線的斜率為，直線的斜率為，

由題意可得，解得，代入①式得，

因此，橢圓的方程為；

（2）易知，直線不能與軸重合.

由對稱性知，以為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)，

設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)、，

如下圖所示：

易知點(diǎn)，，即，，

得，同理可得.

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，

消去得，，.

由韋達(dá)定理得，，

，

，，

，解得或.

因此，以為直徑的圓過定點(diǎn)和.