Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，若橢圓經過點，且△PF1F2的面積為2．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設斜率為1的直線與以原點為圓心，半徑為的圓交于A，B兩點，與橢圓C交于C，D兩點，且（），當取得最小值時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ；(2).

【解析】

（1）根據的面積求得的值，再利用橢圓過點及，求得的值，從而求得橢圓的方程；

（2）設直線的方程為，由直線和圓、橢圓都相交，求得，再利用弦長公式分別計算，，從而建立的函數關系式，當取得最小值時，可求得的值，從而得到直線的方程.

解：（1）由的面積可得，即，∴．①

又橢圓過點，∴．②

由①②解得，，故橢圓的標準方程為.

（2）設直線的方程為，則原點到直線的距離，

由弦長公式可得．

將代入橢圓方程，得，

由判別式，解得．

由直線和圓相交的條件可得，即，也即，

設，，則，，

由弦長公式，得．

由，得．

∵，∴，則當時，取得最小值，

此時直線的方程為．