Question

已知橢圓：的離心率為，右焦點為(，0)．
(1)求橢圓的方程；  
(2)若過原點作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于，兩點，求證：點到直線的距離為定值.

Answer 1

(1)（2）見解析

試題分析：(1)由離心率，右焦點坐標易得各常量值. (2)先假設，當直線AB斜率存在時，與橢圓方程聯立，可得又OA⊥OB，滿足根與系數的關系，可得4 m²＝3 k²＋3，代入點到直線的距離可得d＝.
試題解析：（1）由右焦點為(，0)，則，又，所以，
那么                                   4分
（2） 設，，若k存在，則設直線AB：y＝kx＋m.
由，得    6分
＞0，                 8分
有OA⊥OB知x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(k x₁＋m) (k x₂＋m)＝(1＋k²) x₁x₂＋k m(x₁＋x₂)＝0       10分
代入，得4 m²＝3 k²＋3原點到直線AB的距離d＝.      12分
當AB的斜率不存在時，,可得，依然成立．   13分
所以點O到直線的距離為定值           14分