Question

如圖：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（1）點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；
（2）無論點E在邊BC的何處，PE與AF所成角是否都為定值，若是，求出其大小；若不是，請說明理由；
（3）當BE等于何值時，二面角P-DE-A的大小為45°．

Answer 1

分析：解法一（幾何法）：（1）線與面的位置關系有三種相交、平行與在面內，由題設中的條件E，F為中點可得EF∥PC，由此可判斷出EF與平面PAC的位置關系是平行，再由線面平行的判定定理證明說明理由；
（2）由題設條件及圖形可得出AF⊥平面PBE，由線面垂直的定義可得出無論點E在邊BC的何處兩線都垂直．
（3）先作出二面角的平面角，令其大小是45°，設BE=x，在直角三角形DCE中用勾股定理建立方程求同x值．
解法二（向量法）：（1）的解法同法一中（1）的解法；
（2）建立如圖示空間直角坐標系，由ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動，給出各點的坐標，求出PE與AF所對應的向量的坐標，驗證其內積為0即可得出直線所成的角是直角；
（3）先求出兩平面的法向量，再由公式求出兩個平面的夾角．

解答：解：解法一：（1）當點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點，∴EF∥PC又EF?平面PAC
而PC?平面PAC∴EF∥平面PAC．
（2）∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴EB⊥PA．又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，∴EB⊥平面PAB，
又AF?平面PAB，∴AF⊥BE．
又PA=AB=1，點F是PB的中點，∴AF⊥PB，又∵PB∩BE=B，PB，BE?平面PBE，∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，∴AF⊥PE．即無論點E在邊BC的何處，
PE與AF所成角都是定值90°．
（3）過A作AG⊥DE于G，連PG，又∵DE⊥PA，
則DE⊥平面PAG，
則∠PGA是二面角P-DE-A的平面角，
∴∠PGA=45°，
∵PD與平面ABCD所成角是30°，∴∠PDA=30°，
∴AD=

3

，PA=AB=1．
∴AG=1，DG=

2

，設BE=x，則GE=x，CE=

3

-x，
在Rt△DCE中，(

2

+x)2=(

3

-x)2+12，BE=x=

3

-

2

．
解法二：（向量法）（1）同解法一
（2）建立圖示空間直角坐標系，則P（0，0，1），B（0，1，0），F(0，

1

2

，

1

2

)，D(

3

，0，0)．
設BE=x，則E（x，1，0）

PE

-

AF

=(x，1，-1)•(0，

1

2

，

1

2

)=0
∴AF⊥PE即PE與AF所成角是定值90°
（3）設平面PDE的法向量為

m

=(p，q，1)，由

m • PD =0 m • PE =0

，得：

m

=(

1

3

，1-

x

3

，1)，而平面ADE的法向量為

AP

=(0，0，1)，
∵二面角P-DE-A的大小是45°，所以cos45°=

2

2

=

| m •  AP |

| m ||  AP |

，
∴

1

1 3 +(1- x 3 )2+1

=

1

2

，
得BE=x=

3

-

2

或 BE=x=

3

+

2

（舍）．

點評：本題考查空間向量求兩平面的夾角，解題的關鍵是理解并掌握用空間向量求兩平面夾角的方法，近幾年高中數學引入空間向量，大大降低了立體幾何中點線面間關系判斷的思維含量，降低了難度，使得抽象的幾何問題變成了簡明的代數計算，用向量示解幾何問題的一般步驟是：先根據圖形的結構建立適當的坐標系，給出各點的坐標，如果研究兩線的位置關系問題，可以求出兩向量的方向向量，用公式求夾角，若研究線面夾角問題可求出線的方向向量與面的法向量，由公式求角，若研究兩面的夾角問題，可求出兩面的法向量，由公式求夾角．