Question

【題目】設(shè)是等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為.

（1）設(shè)，，求的最大值.

（2）設(shè)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的，都有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2020（2）

【解析】

（1）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得公差d，再由等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合配方法和二次函數(shù)的最值求法，可得最大值；

（2）由題意可得數(shù)列{bn}為首項(xiàng)為2，公比為2d的等比數(shù)列，討論d＝0，d＞0，d＜0，判斷數(shù)列{bn}的單調(diào)性和求和公式，及范圍，結(jié)合不等式恒成立問(wèn)題解法，解不等式可得所求范圍．

（1）a1＝40，a6＝38，可得d，

可得Sn＝40nn（n﹣1）（n）2，

由n為正整數(shù)，可得n＝100或101時(shí)，Sn取得最大值2020；

（2）設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，

可得an＝1+（n﹣1）d，數(shù)列{bn}為首項(xiàng)為2，公比為2d的等比數(shù)列，

若d＝0，可得bn＝2；d＞0，可得{bn}為遞增數(shù)列，無(wú)最大值；

當(dāng)d＜0時(shí)，Tn，

對(duì)任意的n∈N*，都有Tn≤20，可得20，且d＜0，

解得d≤．