Question

函數f（x）=x³+ax²+bx+c，過曲線y=f（x）上的點P（1，f（1））的切線方程為y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=-2時有極值，求f （x）的表達式；
（Ⅱ）在（1）的條件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值；
（Ⅲ）若函數y=f（x）在區間[-2，1]上單調遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出導函數在x=1處的值，利用點斜式寫出切線方程，化為斜截式令其斜率為3，縱截距為1，令導函數在-2處的值為0，列出方程組，求出f（x）的解析式．
（II）求出f（x）的導函數，令導函數為0，求出根，列出x，f（x），f′（x）的變化表，求出極大值，端點值，求出函數
f（x）的最大值．
（III）方法一：求出導函數，令導函數大于大于0在區間[-2，1]上恒成立，通過對對稱軸與區間位置關系的討論，求出f′（x）的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范圍．
方法二：求出導函數，令導函數大于大于0在區間[-2，1]上恒成立，分離出參數b，構造新函數m（x），利用基本不等式求出m（x）的最大值，令b大于等于m（x）的最大值即可．
解答：解（Ⅰ）

（Ⅱ）f'（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）

x	[-3，-2）	-2
f'（x）	+		-		+
f（x）		極大		極小

f（x）_極大=f（-2）=（-2）³+2（-2）²-4（-2）+5=13  f（1）=1³+2×1-4×1+5=4
∴f（x）在[-3，1]上最大值為13                     …（8分）
（Ⅲ）y=f（x）在區間[-2，1]上單調遞增
又f'（x）=3x²+2ax+b，由（1）知2a+b=0∴f'（x）=3x²-bx+b
依題意f'（x）在[-2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）=3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立．
①在

②在∴b∈
③在
綜合上述討論可知，所求參數b取值范圍是：b≥0…（12分）
或者（Ⅲ）y=f（x）在區間[-2，1]上單調遞增
又f'（x）=3x²+2ax+b，由（1）知2a+b=0∴f'（x）=3x²-bx+b
依題意f'（x）在[-2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）=3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立∴
令m（x）=3（x-1）+（x≤1）
則m（x）
點評：解決曲線的切線問題時常利用導函數在切點處的值為切線的斜率；解決不等式恒成立常采用分離參數構造新函數，求新函數的最值．