Question

【題目】已知拋物線的方程為，過點（為常數）作拋物線的兩條切線，切點分別為，.

（1）過焦點且在軸上截距為的直線與拋物線交于，兩點，，兩點在軸上的射影分別為，，且，求拋物線的方程；

（2）設直線，的斜率分別為，.求證：為定值.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）由拋物線方程可知其焦點坐標，則可得直線的方程，聯立直線與拋物線方程，消去，根據根與系數關系可得點的橫坐標關系式，再由，從而問題可得解；（2）由題意，根據導數幾何意義，通過兩切點計算兩條切線方程，從而得到兩切線斜率與拋物線參數的關系式，從而可證明，兩斜率的乘值為定值.

試題解析：（1）因為拋物線的焦點坐標是，

所以過焦點且在軸上截距為的直線方程是 ，即.

聯立消去并整理，得，

設點，，

則，.

則

，

解得.

所以拋物線的方程為.

（2）設點， .

依題意，由，得，

則.

所以切線的方程是，

即.

又點在直線上，

于是有，

即.

同理，有，

因此，，是方程的兩根，

則，.

所以，

故為定值得證.