Question

如圖，設(shè)A、B、C、D為地球O上的四個(gè)城市，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且DA=AC=1，，則某人乘飛機(jī)從D經(jīng)A到達(dá)B的最短路程為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由已知中四面體A-BCD中，共頂點(diǎn)A的三條棱兩兩互相垂直，我們可得四面體的外接球即為以AB，AC，AD為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體的外接球，又由DA=AC=1，，可求出其外接球半徑，進(jìn)而求出球心角∠AOD、∠BOA，代入弧長(zhǎng)公式，即可求出從D經(jīng)A到達(dá)B的球面距離即得．
解答：解：∵四面體A-BCD中，共頂點(diǎn)A的三條棱兩兩互相垂直，且DA=AC=1，，
故四面體的外接球即為以AB，AC，AD為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體的外接球
可求得此長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2
則球半徑R=1
∴球心角∠AOD=，
∠BOA=，
故A，D的球面距離為 ×1=，A，B的球面距離為 ×1=，
則某人乘飛機(jī)從D經(jīng)A到達(dá)B的最短路程為+=
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球面距離及相關(guān)計(jì)算，余弦定理，弧長(zhǎng)公式，其中根據(jù)已知條件求出球半徑和球心角是解答本題的關(guān)鍵．