Question

（12分）已知某橢圓C，它的中心在坐標原點，左焦點為F（﹣，0），且過點D（2，0）．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若已知點A（1，），當點P在橢圓C上變動時，求出線段PA中點M的軌跡方程．

 

Answer 1

（1）．（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據題意橢圓的焦點在x軸上，a=2且c=，從而b=1，得到橢圓的標準方程；

（2）設點P（x0，y0），線段PA的中點為M（x，y），根據中點坐標公式將x0、y0表示成關于x、y的式子，將P（x0，y0）關于x、y的坐標形式代入已知橢圓的方程，化簡整理即可得到線段PA的中點M的軌跡方程．

【解析】
（1）由題意知橢圓的焦點在x軸上，

∵橢圓經過點D（2，0），左焦點為F（﹣，0），

∴a=2，c=，可得b=1

因此，橢圓的標準方程為．

（2）設點P的坐標是（x0，y0），線段PA的中點為M（x，y），

由根據中點坐標公式，可得，

∵點P（x0，y0）在橢圓上，

∴可得，化簡整理得，

∴線段PA中點M的軌跡方程是．