Question

【題目】已知拋物線，過的直線與拋物線C交于兩點，點A在第一象限，拋物線C在兩點處的切線相互垂直.

（1）求拋物線C的標準方程；

（2）若點P為拋物線C上異于的點，直線均不與軸平行，且直線AP和BP交拋物線C的準線分別于兩點，.

（i）求直線的斜率；

（ⅱ）求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ⅱ）4.

【解析】

（1）利用導數的幾何意義分別求得處切線的斜率，再根據斜率相乘為，可得的值，即可得答案；

（2）（i）根據可得點橫坐標的關系，再結合韋達定理，可求得斜率；

（ii）由（i）易知，設，則，再分別求出點的橫坐標用表示，利用換元法可求得的最值.

（1）設.

拋物線C的方程可化為.

拋物線C在兩點處的切線的斜率分別為.

由題可知直線l的斜率存在，故可設直線1的方程為，

聯立，消去y可得，

.

，解得.

∴拋物線C的標準方程為；

（2）（i）由（1）可得

由，可得，

又點A在第一象限，解得.

∴直線AB的斜率為；

（ii）由（i）易知.

設，則.

由題可知，故且.

∴直線AP的斜率，同理可得.

∴直線，當時，.

直線，當時，.

.

令，

當且僅當，即，也即或時，取得最小值4.