Question

【題目】在平面直角坐標系中，以原點為極點， 軸正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知曲線，直線.

（1）將曲線上所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的2倍、倍后得到曲線，請寫出直線，和曲線的直角坐標方程；

（2）若直線經過點且， 與曲線交于點，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ， ；(2)2.

【解析】試題分析：（1）利用極坐標和直角坐標的關系可得直角坐標方程為，根據伸縮變化法則可得的方程為；（2）寫出直線的參數方程為，聯立直線和曲線，根據參數的幾何意義結合韋達定理可得結果.

試題解析：(1)因為，所以的直角坐標方程為；

設曲線上任一點坐標為，則，所以，

代入方程得： ，所以的方程為.

(2)直線： 傾斜角為，由題意可知，

直線的參數方程為（為參數），

聯立直線和曲線的方程得， .設方程的兩根為，則，由直線參數的幾何意義可知， .