Question

【題目】設函數．

（1）若，求的單調區間；

（2）若函數在處有極值，請證明：對任意時，都有．

Answer 1

【答案】（1）當時，的單調遞增區間是；

當時，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是；

當時，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是．

（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）利用導數的運算法則可得 ，通過分類討論與2的大小關系，再根據導數與函數單調性的關系即可得出單調區間；（2）由時，有極值，得到，即可得到的值，再求出其單調遞增區間，即可得出.

試題解析：（1） ，

當時，，在上單調遞增；

當時，，解得或；，解得，

故函數在和上單調遞增，在上單調遞減．

當時，，解得或；，解得，

故函數在和上單調遞增，在上單調遞減．

所以當時，的單調遞增區間是；

當時，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是；

當時，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是．

（2）∵時，有極值，∴，∴，

∴，，

由，得，∴在上單調遞增．

∵，∴，，

∴．