Question

已知冪函數的圖象與x軸，y軸無交點且關于原點對稱，又有函數f(x)=x²－alnx+m－2在(1，2]上是增函數，g(x)=x－在(0,1)上為減函數.
①求a的值；
②若，數列{a_n}滿足a₁＝1，a_n+1＝p(a_n)，（n∈N₊），數列{b_n}，滿足，，求數列{a_n}的通項公式a_n和s_n.
③設，試比較[h(x)]ⁿ+2與h(xⁿ)+2ⁿ的大小（n∈N₊），并說明理由.

Answer 1

①;②；;③見解析.

試題分析：①由冪函數的定義和性質可以知道的取值集合，由圖像關于原點對稱的函數是奇函數可以確定的值，將的值代入，的解析式后，根據函數的單調性與導函數的關系以及不等式的恒成立問題的解法就可以知道滿足的不等式，就可以解得的值；②先由已知條件求出的解析式，然后得出，的關系，由函數構造的方法可以求得的解析式，代入即可，再由數列求和公式求得的值；③先求出的解析式，再由相減的方法來判斷兩個式子的大小，最后減得的結果和0比較即可，注意分類討論的思想.
試題解析：①冪函數的圖像與軸，軸無交點，則有，解得
又，∴或,
又冪函數的圖像關于原點對稱，則有冪函數是奇函數,
當時，是偶函數，不合題意，舍去,
當時，是奇函數，∴,
∴，求導得,
又∵在上是增函數，∴在上恒成立,
解得,
又∵，在上為減函數,
∴在上恒成立,
解得,
綜上知；                                   ..3分
②∵,
∴∴∴∴,
∴是首項為公比的等比數列,
∴解得,
∴,
∴,
；           .6分
③∵,
當時，,
當時，
＝
＝
＝
＝
,
.                             10分