Question

【題目】三棱錐的一條棱長為，其余棱長均為2，當三棱錐的體積最大時, 它的外接球的表面積為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】由題意畫出三棱錐的圖形，

其中AB=BC=CD=BD=AC=2，AD=m；

取BC，AD的中點分別為E，F，

可知AE⊥BC，DE⊥BC，

且AE∩DE=E，

∴BC⊥平面AED，

∴平面ABC⊥平面BCD時，三棱錐A﹣BCD的體積最大，

此時AD=m=AE=×=；

設三棱錐外接球的球心為O，半徑為R，由球體的對稱性知，

球心O在線段EF上，

∴OA=OC=R，又EF===，

設OF=x，OE=﹣x，

∴R2=+x2=+1，

解得x=；

∴球的半徑R滿足R2=，

∴三棱錐外接球的表面積為4πR2=4π×=．

故選：B．