Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，長軸在x軸上，F₁、F₂分別為其左、右焦點，P在橢圓上任意一點，且

F1P

•

F2P

的最大值為1，最小值為-2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A為橢圓C的右頂點，直線l是與橢圓交于M、N兩點的任意一條直線，若AM⊥AN，證明直線l過定點．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，p（x₀，y₀）為橢圓上任意一點，

F1P

•

F2P

=x02+y02-c2，由

x02

a2

+

y02

b2

=1，知

F1P

•

F2P

=x02+b2- 

b2

a2

x02-c2=

c2

a2

x02+b2-c2．由此能求出橢圓方程．
（2）①若直線l不垂直于x軸，設該直線方程為y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 +y2=1

得x²+4（k²x²+2kmx+m²）=4，由此能求出l：y=-

5

6

mx+m=m(-

5

6

x+1)過定點（

6

5

，0）．②若直線l垂直于x軸，設l與x軸交于點（x₀，0），由橢圓的對稱性知△MNA為等腰Rt△，

1- x02 4

=2-x0，解得x0=

6

5

此時直線l也過定點（

6

5

，0）．由此知，直線l恒過定點（

6

5

，0）．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，p（x₀，y₀）為橢圓上任意一點，
∴

F1P

=(x0+c，y0)，

F2p

=(x0-c，y0)，
∴

F1P

•

F2P

=x02+y02-c2，
∵

x02

a2

+

y02

b2

=1，
∴

F1P

•

F2P

=x02+b2- 

b2

a2

x02-c2=

c2

a2

x02+b2-c2．
∵0≤x₀²≤a²，∴b2-c2≤ 

F1P

•

F2P

≤b2，∴

b2=1 b2-c2=-2

，∴

b2=1 c2=3

，∴a²=4，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）①若直線l不垂直于x軸，設該直線方程為y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

得x²+4（k²x²+2kmx+m²）=4，
化簡，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，∴x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-4k2

1+4k2

．
∵AM⊥AN，∴

AM

•

AN

=y1y2+(x1-2) (x2-2)=0，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴

m2-4k2

1+4k2

+

4m2-4

1+4k2

+

16km

1+4k2

+4=0．整理，得12k²+16km+5m²=0，
∴k=-

m

2

或k=-

5

6

m，
當k=-

m

2

時，l：y=-

m

2

mx+m=m(-

x

2

+1)過定點（2，0），不滿足題意．
當k=-

5

6

m時，l：y=-

5

6

mx+m=m(-

5

6

x+1)過定點（

6

5

，0）．
②若直線l垂直于x軸，設l與x軸交于點（x₀，0），由橢圓的對稱性知△MNA為等腰Rt△，
∴

1- x02 4

=2-x0，解得x0=

6

5

或2（舍），即此時直線l也過定點（

6

5

，0）．
由①②知，直線l恒過定點（

6

5

，0）．

點評：本題考查直線 和圓錐曲線的綜合應用，具有一定的難度，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．