Question

已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

Answer 1

（1），；（2）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）解以為變量的一元二次方程得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用與之間的關(guān)系利用作差法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，方法一是將的前項(xiàng)和中的項(xiàng)一一配對(duì)并進(jìn)行裂項(xiàng)展開(kāi)，然后利用裂項(xiàng)法求，進(jìn)而證明相應(yīng)不等式；方法二是將數(shù)列中的每一項(xiàng)進(jìn)行拆開(kāi)，然后逐項(xiàng)求和，進(jìn)而證明相應(yīng)不等式.
試題解析：（1）由，得，
由于是正項(xiàng)數(shù)列，所以，
由可得當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，
數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，；
（2），
方法一：
，

；
方法二：，

.