Question

按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為a元，如果他賣出該產品的單價為m元，則他的滿意度為

m

m+a

；如果他買進該產品的單價為n元，則他的滿意度為

a

n+a

．如果一個人對兩種交易（賣出或買進）的滿意度分別為h₁和h₂，則他對這兩種交易的綜合滿意度為

h1h2

．現假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為m_A元和m_B元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為h_甲，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為h_乙
（1）求h_甲和h_乙關于m_A、m_B的表達式；當mA=

3

5

mB時，求證：h_甲=h_乙；
（2）設mA=

3

5

mB，當m_A、m_B分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？
（3）記（2）中最大的綜合滿意度為h₀，試問能否適當選取m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同時成立，但等號不同時成立？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）表示出甲和乙的滿意度，整理出最簡形式，在條件mA=

3

5

mB時，表示出要證明的相等的兩個式子，得到兩個式子相等．
（2）在上一問表示出的結果中，整理出關于變量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出兩個人滿意度最大時的結果，并且寫出等號成立的條件．
（3）先寫出結論：不能由（2）知h₀=

2

3

．因為h_甲h_乙≤

4

9

，不能取到m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同時成立，但等號不同時成立．?

解答：解：（1）甲：買進A的滿意度為h_A1=

12

mA+12

，賣出B的滿意度為h_B1=

mB

mB+5

；
所以，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為h_甲=

hA1•hB1

=

12 mA+12 × mB mB+5

=

12mB (mA+12)( mB+5)

；
乙：賣出A的滿意度為：h_A2=

mA

mA+3

，買進B的滿意度為：h_B2=

20

mB+20

；
所以，乙賣出A與買進B的綜合滿意度h_乙=

hA2•hB2

=

mA mA+3 × 20 mB+20

=

20mA (mA+3)( mB+20)

；
 當mA=

3

5

mB時，h_甲=

12mB ( 3 5 mB+12)(mB+5)

=

20mB (mB+20)( mB+5)

，
h_乙=

20× 3 5 mB ( 3 5 mB+3)(mB+20)

=

20mB (mB+5)(mB+20)

，所以h_甲=h_乙
（2）設m_B=x（其中x＞0），當mA=

3

5

mB時，
h_甲=h_乙=

20x (x+5)(x+20)

=

20 x+ 100 x +25

≤

20 2 x• 100 x +25

=

20 45

=

2

3

；
當且僅當x=

100

x

，即x=10時，上式“=”成立，即m_B=10，m_A=

3

5

×10=6時，
甲、乙兩人的綜合滿意度均最大，最大綜合滿意度為

2

3

（3）不能由（2）知h₀=

2

3

．因為h_甲h_乙≤

4

9

因此，不能取到m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同時成立，但等號不同時成立．?

點評：本題考查函數模型的選擇和應用，本題解題的關鍵是理解題意，這是最主要的一點，題目中所用的知識點不復雜，只要注意運算就可以．