Question

如圖，將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截出一個三棱錐S-ABC，求三棱錐S-ABC的體積與剩下的幾何體體積的比．

Answer 1

分析：設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，根據長方體的幾何特征，我們可得SA，SB，SC兩兩垂直，代入棱錐體積公式及長方體體積公式，求出三棱錐S-ABC的體積與剩下的幾何體體積，進而得到答案．

解答：解：設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，
即SA=a，SB=b，SC=c．（1分）
由長方體，得SA，SB，SC兩兩垂直，
所以VA-SBC=

1

3

SA•S△SBC=

1

3

a×

1

2

bc=

1

6

abc，（5分）
于是VS-ABC=VA-SBC=

1

6

abc．（8分）
故剩下幾何體的體積V=abc-

1

6

abc=

5

6

abc，（10分）
因此，V_S-ABC：V=1：5．（12分）

點評：本題考查的知識點是棱柱的體積公式及棱錐的體積公式，其中根據長方體的結構特征分析出SA，SB，SC兩兩垂直，進而求出棱錐的體積是解答本題的關鍵．