Question

【題目】如圖，已知梯形中，∥，，矩形平面，且,.

（1）求證：；

（2）求證：∥平面；

（3）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)

【解析】

(1)根據面面垂直的性質定理證得平面,從而可得,再根據以及線面垂直的判定定理可得.平面,從而可得.

(3) 過點B作垂足為,作，垂足為,連接,則就是所求二面角的平面角,在三角形中,可求得答案.

解：（1）矩形平面，且平面平面=CD ,又平面.

平面.

又平面，

,

且,

.平面.

平面，

則

（2）如圖所示:

取中點M,連接,由已知條件易得及為平行四邊形，于是,由于,故為平行四邊形.

.面ABE,

所以 平面.又, 所以面,

又,所以平面平面. 又平面

∥平面.

（3）如圖所示:

過點B作垂足為,作，垂足為,連接.由矩形平面，得平面,又,

所以就是所求二面角的平面角.

在△中,根據面積關系可得,得,得,解得.

在中， .

故二面角的正切值為 .